Định lý Viet và ứng dụng giải Toán

Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán học Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi tuyển sinh lớp 10. Bài viết dưới đây vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các em học sinh nắm vững và ứng dụng thành thục hệ thức Viet. 

1. 1. Định lý Viet là gì?

- Định lý Viet là công thức thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà Toán học người Pháp tìm ra.

- Định lý Viet học ở chương trình đại số ở cấp 2 và cấp 3 có nội dung kiến thức rất quan trọng đối với học sinh.

2. 2. Định lý Viet bậc 2

- Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a khác 0), có hai nghiệm x_1,x₂ thì tổng và tích của chúng là x₁ + x₂ = -b/a; x₁. x₂ = c/a.

- Ngược lại, nếu có hai số x₁; x₂  thỏa mãn:

                             x₁ + x₂ = S và x₁.x₂ = P

thì x₁; x₂ là nghiệm của phương trình t² – St + P= 0

Trong đó:

- Với x là ẩn số; x₁,x₂ là nghiệm của phương trình

- a,b,c là các số đã biết sao cho a khác 0, a,b,c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x.

- a là hệ số bậc hai

- b là hệ số bậc một

- c là hằng số hay số hạng tự do 

3. 3. Ứng dụng của định lý Viet bậc 2

3.1 Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm

- Trong khi làm bài tập dạng này, học sinh cần lưu ý sự tồn tại nghiệm của phương trình. Sau đó, biểu diễn các biểu thức qua x₁+x₂ và x₁.x₂. để có thể sử dụng định lý Viet. Các hằng đẳng thức thường dùng là:

a² + b² = (a+b)² – 2ab

a³ + b³ = (a+b)³ – 3ab (a+b)

Xem thêm: học với gia sư Toán lợi ích thế nào?

3.2 Dạng 2:

- Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1 là hệ gồm hai phương trình hai ẩn. Trong đó, nếu ta hoán đổi vai trò các ẩn trong từng phương trình thì mỗi phương trình đều không thay đổi. Để giải hệ đối xứng kiểu 1 bằng cách sử dụng định lý Viet, ta thường biểu diễn các phương trình qua tổng và tích của hai ẩn đó. Các hằng đẳng thức thường dùng là: 

a² + b² = (a+b)² – 2ab

a³ + b³ = (a+b)³ – 3ab (a+b)

(a²)² + (b²)² = (a² + b²)² – 2a²b² 

3.3 Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức

- Định lý Viet vẫn có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thức. Tất nhiên, ở đây ta hiểu là dùng nó để biến đổi trung gian. Để có thể sử dụng định lý Viet, thông thường các dữ kiện của bài toán thường đưa về dưới dạng tổng và tích các ẩn. Qúa trình chứng minh ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, bất đẳng thức cổ điển, các phép biến đổi tương đương.

3.4 Dạng 4: Ứng dụng vào bài toán tính cực trị của hàm số

- Đây là dạng bài tập phổ biến trong các đề thi đại học. Điều quan trọng trong những dạng bài tập này là làm sao học sinh biểu diễn được tọa độ điểm cực trị một cách gọn gàng và nhanh chóng nhất.

3.5 Dạng 5: Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến

- Bài tập về tiếp tuyến thường liên quan đến các điều kiện tiếp xúc của đường cong và đường thẳng. Cần làm cho học sinh thấy rõ tọa độ điểm tiếp xúc thường là nghiệm của một phương trình nào đó mà ta có thể đưa về bậc hai để sử dụng định lý Viet. Các kỹ thuật về nhẩm nghiệm cần được học sinh áp dụng tốt ở dạng bài tập này.

3.6 Dạng 6: Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm

Xem thêm: Gia sư lớp 9

3.7 Dạng 7: Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi

- Việc ứng dụng hệ thức truy hồi tuyến tính giúp học sinh có thể áp dụng giải quyết được rất nhiều những dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cap, từ đơn giản đến phức tạp.

3.8 Dạng 8: So sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với 1 số

- Bài toán định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và bài toán so sánh nghiệm của tham thức bậc hai với một số thức bất kỳ không còn được trình bày trong chương trình học chính khóa. Nội dung này được được giảm tải theo những quy định của chương trình mới. Qúa trình học nếu học sinh biết sử dụng định lý đảo và bài toán so sánh nghiệm thì lời giải sẽ ngắn hơn nhiều.

Xem thêm:

- Định lý Pytago

- Định lý Talet